Материал для повторения
Натуральные числа - это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, 4, ..., n, ...Множество всех натуральных чисел обозначается N.
Натуральное число, единственными делителями которого являются только единица и оно само, называется простым числом. Все остальные натуральные числа называются составными. Натуральное число 1 не является простым!
Пример:
2, 3, 5, 7, 11 - простые числа.
4, 6, 8, 9, 10, 12 - составные числа
Признаки делимости натуральных чисел
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8.
Примечание: числа, которые делятся на 2, называются четными, а которые на 2 не делятся - нечетными.
Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Наименьшее общее кратное
Общим кратным натуральных чисел называется натуральное число, которое делится на эти числа. Наименьшее из них называется наименьшим общим кратным (НОК).
Нахождение НОК:
1. разложить их на простые множители;
2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3. домножить их на недостающие множители из разложений остальных чисел;
4. найти произведение получившихся множителей.
Пример:
Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 36.
1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*3
2. 2*2*2*3
3. 2*2*2*3*3
4. 2*2*2*3*3=72
Ответ: НОК(24; 36)=72
Наибольший общий делитель
Общим делителем натуральных чисел называется число, на которое делятся эти числа. Наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).
Нахождение НОД:
1. разложить их на простые множители;
2. в группах множителей, входящих в разложение этих чисел, оставляем только совпадающие множители;
3. найти произведение оставшихся множителей.
Пример:
Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 36.
1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*3
2. 2*2*3
3. 2*2*3=12
Ответ: НОД(24; 36)=12
Примечание: Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти числа называются взаимно простыми.
Множество целых чисел - это множество, полученное в результате добавления к множеству натуральных чисел числа нуль и противоположных натуральным чисел.
Упражнения
1. Выпишите натуральные числа:
а) 1,5; 2; 0; -5; 4; 198; 1.
б) -8; 101; 57; 0; 1,25; 0,4; -8; 1000.
Решение:
а) 2; 4; 198; 1.
2. Выпишите целые числа:
а) 1,5; 2; 0; -5; 4; 198; 1.
б) -8; 101; 57; 0; 1,25; 0,4; -8; 1000.
Решение:
а) 2; 0; -5; 4; 198; 1.
3. Выпишите числа, которые являются простыми:
а) 1; 6; 3; 10; 17; 81; 111; 23; 100.
б) 7; 56; 9; 67; 13; 25; 48; 21; 41; 53.
Решение:
а) 3; 17; 23 - простые числа, т.к. делятся только на себя и на 1.
1 не является ни простым, ни составным числом;
6 делится на 1, 2, 3, 6;
10 делится на 1, 2, 5, 10;
81 делится на 1, 3, 9, 27, 81;
111 делится на 1; 3; 37; 111;
100 делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
4. Выпишите числа, которые делятся на 9.
а) 10; 12; 9; 18; 3654; 108; 19; 109.
б) 45; 108; 16; 81; 2718; 1919; 54.
Решение:
а) 9; 18 (1+8 =9 делится на 9); 3654 (3+6+5+4=18 делится на 9); 108 (1+0+8=9 делится на 9).
5. Выпишите пары взаимно простых чисел:
а) 24 и 35; 12 и 27; 40 и 23; 42 и 56.
б) 15 и 28; 19 и 57; 64 и 56; 5 и 12; 111 и 89.
Решение:
а) 24 и 35 (24=2*2*3*3, 35=5*7, нет общих множителей); 40 и 23 (40=2*2*2*5, 23=23, нет общих множителей).
12 и 27 не взаимно простые, т.к. 12=2*2*3, 27=3*3*3, общий множитель 3.
42 и 56 не взаимно простые, т.к. 42=2*3*7, 56=2*2*2*7, общие множители 2 и 7.
6. Найдите значение выражения:
Решение:
а) 105=3*5*7; 63=3*3*7; НОД(105; 63)= 3*7=21;
24=2*2*2*3; 32=2*2*2*2*2; НОД(24; 32)=8;
НОК(5; 11)=5*11=55;
НОД(17; 21)=1
Подставим, полученные числа в исходное выражение:
(3*21 - 8)/55 + 1= 2.
Ответ: 2.
7. Найдите:
а) сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые принадлежат промежутку (12; 56).
б) сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 5, не превосходящих число 45.
Решение:
а) Числа, которые кратны 6 делятся на 2 и на 3. Обратите внимание, что число 12 не принадлежит заданному промежутку. Следовательно, сумма чисел 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 равна 252.
8. Может ли
а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?
б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Решение:
а) Обозначим первое число n, второе - (n+1) , третье - (n+2), четвертое - (n+3), пятое - (n+4).
Запишем сумму: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим 5n+10, вынесем 5 за скобки: 5(n+2).
Как видим, полученная сумма делится на 5, следовательно и число делится на 5 и не является простым.
Ответ: не может.
9. а) НОК двух натуральных чисел не делящихся друг на друга равен 90, а НОД этих чисел равен 6. Найти эти числа.
б) Произведение двух натуральных чисел равно 80, а сумма этих чисел равна 24. Найти частное от деления НОК этих чисел на НОД этих чисел.
Решение:
а) обозначим числа х и у. НОК(х, у)=90=2*3*3*5. НОД(х, у)=6=2*3.
Множители 2 и 3 должны присутствовать в разложении каждого числа, т.к. они есть в НОД этих чисел и , учитывая, что х не делится на у и у не делится на х, получим: х=2*3*3=18, у=2*3*5=30.
Ответ: 18 и 30.
10. Докажите, что:
а) значение выражения n5 - 5n3+ 4n делится на 120 при любом натуральном n.
б) значение выражения 3n+2 - 2 n+2+ 3n - 2n при любых натуральных значениях n кратно 10.
Решение:
а) в выражении n5 - 5n3+ 4n вынесем n за скобки: n(n4 - 5n2+ 4). Рассмотрим трехчлен n4 - 5n2+ 4, сделаем замену х=n2, х - неотрицательно.
х2 - 5х + 4, найдем корни по теореме Виета: 4 и 1, тогда х2 - 5х + 4=(x-1)(x-4).
Получаем: n(n2-1)(n2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2), расположим множители в порядке возрастания: n(n2-1)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2), что соответствует записи произведения пяти последовательных натуральных чисел.
Представим число 120 как произведение пяти множителей: 120=1*2*3*4*5, а это как раз произведение пяти последовательных натуральных чисел. Следовательно, заданное выражение делится на 120.
11. Найдите:
а) остаток от деления некоторого числа на 4, если при делении этого числа на 16 остаток равен 9.
б) остаток от деления некоторого числа на 5, если при делении этого числа на 25 остаток равен 7.
Решение:
а) Обозначим заданное число - а, тогда по формуле деления с остатком а=16*n+9, n - натуральное число. Преобразуем: a=16*n+8+1=(16*n+8)+1=4(4*n+2)+1, следовательно, при делении этого числа на 4 получим остаток 1.
Ответ: 1.
Задания для самостоятельного решения
1. Выпишите числа, которые при делении на 5 имеют остаток 3: 28; 51; 49; 98; 101; 95; 123.2. Выпишите числа, которые являются составными: 45; 12; 7; 101; 89; 151; 919; 108.
3. Укажите наибольшее натуральное число, которое принадлежит промежутку (-45; 125).
4. Выпишите пары взаимно простых чисел: 78 и 56; 55 и 128; 19 и 21.
5. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 72 и 108.
6. Найдите сумму наибольшего простого двузначного числа и наименьшего трехзначного числа, кратного 4.
7. Найдите наибольшее двузначное число, произведение цифр которого равно 28.
8. Среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на 2? А на 3? А на 4? А на 5? Обоснуйте ответ.
9. Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Делится ли полученное число на 24?
10. Докажите, что 72n - 42n делится на 33.
